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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5: Derivada

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8. Calcule la derivada de la función en su dominio de definición, siendo f(x)=f(x)=
c) (sen⁡3(x))ln⁡(x)(\operatorname{sen}^{3}(x))^{\ln (x)}

Respuesta

Vamos a derivar esta función siguiendo los mismos razonamientos que te mostré en el primer item de este Ejercicio. 

1. Tomamos logaritmo natural de ambos lados en la función f(x)=(sin⁡3(x))ln⁡(x) f(x) = (\sin^3(x))^{\ln(x)} :
ln⁡(f(x))=ln⁡((sin⁡3(x))ln⁡(x))\ln(f(x)) = \ln((\sin^3(x))^{\ln(x)}) 2. Aplicamos una de las propiedades del logaritmo para la potencia a la derecha:
ln⁡(f(x))=ln⁡(x)⋅ln⁡(sin⁡3(x))\ln(f(x)) = \ln(x) \cdot \ln(\sin^3(x)) 3. Otra vez usamos propiedades de logaritmos para bajar esa potencia de la derecha:
ln⁡(f(x))=ln⁡(x)⋅3ln⁡(sin⁡(x))\ln(f(x)) = \ln(x) \cdot 3\ln(\sin(x)) Ahora derivamos ambos lados de la igualdad respecto a x x , usamos regla del producto a la derecha: 1f(x)f′(x)=1x⋅3ln⁡(sin⁡(x))+3⋅cos⁡(x)sin⁡(x)⋅ln⁡(x)\frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{1}{x} \cdot 3\ln(\sin(x)) + 3 \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \ln(x) Reacomodando: f′(x)f(x)=3ln⁡(sin⁡(x))x+3⋅cos⁡(x)sin⁡(x)⋅ln⁡(x)\frac{f'(x)}{f(x)} = 3\frac{\ln(\sin(x))}{x} + 3 \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \ln(x) 4. Finalmente, despejamos f′(x) f'(x) : f′(x)=f(x)⋅(3ln⁡(sin⁡(x))x+3⋅cos⁡(x)sin⁡(x)⋅ln⁡(x))f'(x) = f(x) \cdot \left(3\frac{\ln(\sin(x))}{x} + 3 \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \ln(x)\right) Recordando la expresión de f(x) f(x) , reemplazamos y ya estamos =) f′(x)=(sin⁡3(x))ln⁡(x)⋅(3ln⁡(sin⁡(x))x+3⋅cos⁡(x)sin⁡(x)⋅ln⁡(x))f'(x) = (\sin^3(x))^{\ln(x)} \cdot \left(3\frac{\ln(\sin(x))}{x} + 3 \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \ln(x)\right)
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